Андрей Мягков родился в Ленинграде, в семье доцента Технологического института и инженера-механика Ленинградского полиграфического техникума. Родители видели сына инженером, так что по настоянию отца будущая звезда окончил Технологический институт. Несколько месяцев он проработал в Институте пластических масс — при учреждении открыли театральную студию, к которой Мягков проявил интерес. Актер играл в любительских спектаклях, где его талант заметил один из преподавателей Школы-студии МХАТ. Он предложил Андрею Васильевичу пройти творческие испытания.

Мягков успешно сдал экзамены и был зачислен в Школу-студию на курс В. Маркова. По окончании учебного учреждения актер поступил на службу в театр «Современник». Дебютной ролью стал Дядюшка в спектакле «Дядюшкин сон». В том же 1965-м Андрей Мягков получил первую кинороль стоматолога Чеснокова в фильме «Похождения зубного врача».

Первая роль в карьере Андрея Мягкова не стала прорывной. Актер несколько лет играл роли второго плана, снимался в эпизодах и выходил на театральную сцену. Он стал по-настоящему популярным после выхода на экраны новогоднего фильма Эльдара Рязанова «Ирония судьбы, или С легким паром!» в 1976-м. Андрея Васильевича назвали лучшим актером года по версии журнала «Советский экран» и присудили Государственную премию СССР. Хотя самому Мягкову фильм не нравился: в отличие от экранного героя Жени Лукашина, Мягков не любил ходить в баню и совсем не пил. Уже в преклонном возрасте артист признавался, что не понимает, почему картину смотрят под Новый год уже на протяжении 50 лет.

После выхода картины Мягков сокрушался, что большая часть зрителей знает его только как Женю Лукашину, и говорил о конце собственной карьеры. Но актер получал много предложений о работе. Через год состоялась премьера картины «Служебный роман», где Андрей Мягков сыграл застенчивого статистика Новосельцева, еще через год — вышел фильм «Гараж», где снималась плеяда кинозвезд Советского Союза. Позже с участием Мягкова выходили картины «Жестокий романс», «Кувырок через голову» и «На Дерибасовской хорошая погода, или На Брайтон-Бич опять идут дожди».

В последние годы Андрей Васильевич мало снимался. Он проводил время с супругой Анастасией Вознесенской, писал детективы и редко выходил на театральную сцену. В 2007-м он снова сыграл Женю Лукашина в фильме Тимура Бекмамбетова «Ирония судьбы. Продолжение», а в 2013-м в последний раз сыграл в спектакле «Белый кролик».

Андрей Мягков умер 18 февраля 2021-го, ему было 82 года. Причиной смерти актера назвали сердечную недостаточность.